Im 19. Jahrhundert hat William George Horner (1786-1837) das nach ihm benannte Schema zur Berechnung von Funktionswerten von Polynomen vorgestellt. Wir benötigen die Funktionswerte um z.B. die Funktion zu zeichnen.
Betrachten wir ein Polynom 3. Grades: ,
mit und
, konkret denken
wir z.B. an ,
also
.
Nach dem Horner-Schema wird aus dieser Funktion zunächst die Variable aus den ersten drei Summanden ausgeklammert. Man erhält dann:
Konkret ergibt sich so: .
Klammert man nun nach dem gleichen Schema wiederum
aus den ersten beiden Summanden in der Klammer aus, so folgt:
, konkret
also .
Die entscheidende Frage hierbei ist: Warum sollte man die Funktion so umschreiben? Das
Horner-Schema reduziert die Anzahl der Multiplikationen! Durch das Ausklammern
muss man insgesamt weniger Rechenoperationen durchführen. Damit kann man die
Rechengeschwindigkeit und die Genauigkeit der Berechnung erhöhen!
Um das Horner-Schema schnell und effizient anzuwenden, schreibt man die Koeffizienten in eine Tabelle. Wir berechnen nun tabellarisch die Funktionswerte , indem wir für in die Vorschrift von links nach rechts der Reihe nach einsetzen:
Das Horner-Schema wird hier mit der Berechnung des Funktionswertes für abgebrochen. Führt es selbst einmal durch und vergleicht mit der herkömmlichen Berechnung, die mehr Rechenoperationen erfordert! Arbeitet am besten mit einer Tabelle, wie Tab. 2.
Wie schätzt Ihr den Rechenaufwand jeweils ab?
Mit etwas Glück haben wir in der ersten Tabelle 1 gleich für eine Nullstelle gefunden. Die ersten Elemente in dieser Zeile (, und ) bilden die Koeffizienten des Ergebnispolynoms der folgenden Polynomdivision:
Das Hornerschema liefert also im Schnellverfahren als Abfallprodukt eine Polynomdivision. Um alle
Nullstellen von
zu bestimmen, bliebe jetzt nur noch wegen EPiNweFNi (Satz vom Nullprodukt) die quadratische
Gleichung
zu lösen. Wie sich z.B. mit pq-Formel zeigen lässt, hat die quadratische Gleichung keine
reelle Lösung. Wir haben für dieses einfache Beispiel also alle Nullstellen gefunden:
, mehr
Nullstellen gibt es hier nicht. Nullstellen haben in der Kurvendiskussion eine besondere
Bedeutung, u.a. liefert eine doppelte Nullstellen einen Hinweis auf ein relatives Extremum, eine
dreifache Nullstelle deutet auf einen Wendepunkt hin.
Versucht nun selbst mittels Horner-Schema Polynomdivisionen durchzuführen. Aufgaben (und
Lösungen zum Vergleich) findet Ihr in
http://www.warncke-family.de/fos/ bg_Polynomdivision_I.pdf.